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为什么水中的物体所受阻力为0？

d’Alembert’s Paradox: “取极限”与“建模”不可交换

1752年，让·勒朗·达朗贝尔Jean le Rond d’Alembert在研究欧拉方程时证明了一个至今仍令人们困惑的结果：

在不可压、无粘、定常的理想流体中，一个物体在匀速流中所受的阻力严格等于 0。

但现实中一定有阻力。

第一个动画就展现了这样的世界。这里的流动是理想的欧拉流。流线围绕物体弯曲、加速、减速，然后在下游完美地重新汇合。没有任何东西被遗漏。我们所看到的运动来自流线在稳定速度场中的运动，而不是来自流动本身任何不断演变的结构。

该装置是理想的流体模型：

欧拉（ν = 0)
ρ( ∂ u/ ∂ t + (u· ∇ ) u) = −∇ p
∇ ·u = 0

假设流动稳定且粘度ν 为零，则问题得以解决。如果流动也是无旋的，即∇ ×u = 0，则可以写成 u = ∇ φ，问题就简化为势流：

∇ ²φ = 0
u = ∇ φ

作用在身体上的力完全来自压力：

F = −∮ pn dS
D = F·e ₓ

在这些假设下，压力场是完全前后对称的，因此积分结果为

D = 0

换句话说，对称性带来“致命的”后果。对于球、圆柱体，势流解具有前后完全对称。

也就是说：

前半部分的压强分布与后半部分完全镜像。导致合力为0。

这个悖论困扰了物理学界长达 150 多年，造成了理论流体力学（数学家）和水力学（工程师）的分裂。直到 1904 年，德国物理学家路德维希·普朗特（Ludwig Prandtl）提出了边界层理论（Boundary Layer Theory），才真正解开了这个谜题。

其数学本质是，无粘流体模型在物体边界处是病态的。

现在来看第二个动画。它的几何形状和流入量都相同，只是启用了正粘性ν ，即使粘性值很小。

纳维-斯托克斯方程 (ν > 0)
ρ( ∂ u/ ∂ t + (u· ∇ ) u) = −∇ p + μ ∇ ²u
∇ ·u = 0

这个额外的项改变了一切。表面附近形成了一个薄薄的边界层。分离成为可能。涡量产生并脱落。尾流出现。阻力不再是可有可无的。

让粘度趋近于零与将其设定为零并非同一回事。无粘性极限会消除打破时间反演对称性并允许能量耗散的机制。一旦该机制消失，尾流便无法存在，阻力也必然消失。 http://t.cn/AXtf8w2u