#今天要来点数学吗？#

2025年的#哈佛大学##博士[超话]# 生入学资格考试题目，大家看看~

——————第一天

代数：证明任意一个规模为 45 的群都是阿贝尔群。（直接Sylow定理，分类讨论）

代数几何：研究由方程 𝑥𝑦=𝑧^2 定义的子簇，包括奇点与blow-up后的光滑性。

代数拓扑：证明 𝑆^2∨𝑆^4 与𝐶𝑃^2 不同胚。

复分析：计算积分 ∫sin^2/x^𝑑𝑥。(纯送分题啊，用留数定理心算目测答案Π~上一道其实也是)

微分几何：关于李群 𝑆𝑈(𝑁) 的左不变形式的闭合性问题。

实分析：证明 Hilbert 空间之间的弱有界算子集必然是有界的。

——————第二天

代数：关于立方体旋转对称群𝑆4的表示论，要求写出两个表示的特征并计算不可约表示的重数。

代数几何：证明任意亏格为 2 的光滑复射影曲线存在一个次数为 2 的正规映射到
𝐶𝑃^1。

代数拓扑：研究环面 𝑇=𝑅^2/𝑍^2的映射环面 𝑀𝜑，计算其所有高阶同伦群 𝜋𝑛(𝑀𝜑)。

复分析：寻找一个保角映射，把区域 Ω={𝑧:∣𝑧−1∣>1,∣𝑧−2∣<2}映射到上半平面。

微分几何：关于 Stiefel 流形 𝑉𝑘(𝑅𝑛)，证明它是光滑子流形，计算维度，描述切空间，并构造一个在 𝑂(𝑛)作用下不变的黎曼度量。

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感觉还是挺简单，大概相当于研究生教材里例题和课后习题的难度。考点都挺明确的。但是学科分支也太多了，是吧？

为什么会如此呢？

美国博士生是 在研究生早期（通常第一年后）参加资格考试，而不是等硕士毕业后才考。通常是在 研究生第一年或第二年进行，而不是国内的“硕士毕业后”考博。

在美国，大致上博士项目通常直接招收本科毕业生，不要求先拿硕士。硕士学位有时会作为博士过程中的“中途奖励”，但不是必经之路。

所以资格考试问题不难，但是涉及的主题范围很广。