“是根吗”的深入探讨
大罕

单壿教授在其《单谈数学》公众号里以“是根吗”为标题，提出如下问题：
cosα/(1+cosα-sinα)是一元二次方程2x²sinα-2x+cosα=0的根吗?请写出理由与扼要过程．

本文先作判断．
设t=tan(α/2)，利用万能代换：
sinα=2t/(1+t²)， cosα=(1-t²)(1+t²)
原方程可写成
2x²[(2t)/(1+t²)]-2x+(1-t²)(1+t²)=0，
令x₀=cosα/(1+cosα-sinα)，则x₀=(1/2)(1+t)，代入原方程左边，有
t(1+t)²-(1+t)+(1-t²)(1+t²)=0，
左边等于0，因此x₀确是原方程的根. （其它解法从略.）

再作深入讨论．
【问题一】中学教材中，方程的根是使方程成立的未知数的值．本题中“根”是一个含参数的式子，这符合根的定义吗？
【回答】方程2x²sinα-2x+cosα=0中，x是未知数，而α是参数(不是未知数)，且sinα≠0．对于每一个固定的α，它就是普通的方程，例如取值α=π/3，则x₀=1/(3-√3)，原方程即为2x²(sinπ/3)-2x+cos(π/3)=0，可以验证x₀是方程的根．因此，含参数的表达式x₀ 完全符合方程根的定义.

【问题二】含参数的一元二次方程，根也含参数，是否意味着方程有无数个根？
【回答】含参数的一元二次方程，对每一组确定的参数值，至多只有两个根；根随参数变化而变化，并非“同一个方程有无数个根”.

【问题三】原方程的另一个根是什么？
【回答】方程2x²sinα-2x+cosα=0的一个根是cosα/(1-cosα+sinα)，另一个根是cosα/(1+cosα-sinα)
理由是:用因式分解法解方程，有
[2sin(α/2)x-cos(α/2)+sin(α/2)]•[(2cos(α/2)x-cos(α/2)-sin(α/2)]=0，从而可知原方程有两个根.

【问题四】此题超纲吗？
【回答】含参数的方程，在中学数学范围内是常见的．本题进了一步，除方程外，其根也含有参数，不妨称为“双向参数方程”．它完全符合教材里的根的定义、方程概念，因而没有超纲．它是立意新颖的创新题，既考察了三角变换的计算能力，又考察了抽象思维的能力．．

【注】附图是单墫先生的手稿，分别给出提问和答案、
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2026/2/23 正月初七 http://t.cn/z8A39KO