2025年连云港市中考第27题第 ⑴问的详解
大罕

正方形综合题是中考数学几何压轴题的常见题型，往往集全等三角形、相似三角形、四点共圆、解析几何、函数最值等知识于一体，对逻辑推理、几何直观与运算求解能力要求较高．
2025年江苏连云港市中考数学第27题，以正方形为载体，设置线段相等与垂直证明、线段长度和面积计算、最值等经典问题，设置的小问层层深入，总体来看有一定难度．
本文将原题删节为纯数学考查形式，对各小问进行多角度、详略得当的解析，帮助读者理解此类压轴题的破题思路与解题通法。

【题目】如图1，在正方形ABCD的边AB,BC上分别取点E,F，使AE=BF，AF交DE于点O，连接AC，过点F作FG丄AC，垂足为G，连接GD、GE，设DE交AC于点P，GE交AF于点Q，
⑴求证：GD=GE，GD丄GE；
⑵设AD=3，AE=1，求QF的长；
⑶设AD=3，当△DPG的面积最小时，求AP的长.

【第⑴题的解法】
【证明一】（构造全等三角形，相等与垂直同步进行．）
作GM⊥BC于M，作TN∥BC交AB、CD于T、N，如图2，则TBMG是矩形，GMCN为正方形，
由Rt△GTE≌Rt△DNG，得GE=DG，
又∠NDG=∠TGE，故∠NGD+∠TGE=90°，即GD⊥GE.

【证明二】（等量代换证相等，四点共圆证垂直）
连接GB，延长GF交AB延长线于M，如图3，
由△DGA≌△BGA，得DG=BG，且∠GDA=∠GBA，
由△GAE≌△GMB，得EG=BG，∴∠GAB=∠GBA，
∴∠GAB=∠GDA，∴A、E、G、D四点共圆，
∴∠DGE=90°，即GD⊥GE.

【证明三】（解析法）
如图4，建立直角坐标系，设D(0,n)，E(m,0)，则F(n,m)，m、n>0，
直线AC：y=x，直线FG：y-n=-(x-m)，
求得两直线交点G((m+n)/2, (m+n)/2)，
向量DG=((m+n)/2, (m-n)/2)，向量EG=((n-m)/2, (m+n)/2)，
∵|DG|²=[(m+n)/2]²+[(m-n)/2]²=|EG|²,
向量DG与向量EG的数量积=[(m+n)/2][(n-m)/2]+[(m-n)/2][(m+n)/2]
=(n²-m²)/4+(m²-n²)/4=0，
∴GD=GE，GD丄GE.

【小结】本题第⑴问是整道题的基础性的结论，GD=GE且GD⊥GE这一结论后面还要用到．三种解法各有侧重：构造全等是几何综合题的常规思路，直观简洁；四点共圆能快速实现角的转化，简化垂直证明；解析法属高中方法，用坐标与向量将几何关系代数化，思路直接、通用性强．三种方法互为补充，充分体现了正方形综合题“一题多解、数形结合”的命题特点．
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