#今天要来点物理吗？#

之前一笔带过的马德隆方程 (Madelung equations) http://t.cn/AXfDrA7O，也就是#量子力学[超话]# 的#流体动力学# 表述，将抽象的波函数转化为看得见、摸得着的“流体”。

在原子单位制（即设定ℏ=1）下，

一旦定义 ρ = |ψ|² 并对其求导，刻画量子特性的薛定谔方程便可重写为一条描述物质守恒的连续性方程：

∂ρ/∂t + ∇·j = 0，其中 j = (1/m)Im(ψ*∇ψ)。

这里的 j 就是概率流密度。

作为对比，流体力学里，质量守恒写作： ∂ρ/∂t+∇·（ρv）=0。

这意味着波函数描述的不是一种静止的概率分布，而是一种像流体一样在空间中演化的“概率流”。

引入极坐标
ψ = √ρ e^(iθ)，则概率流变为 j = (ρ∇θ/m)。θ是相位。

如果我们定义一个局部的“速度场” v=∇θ/ m，那么概率流就变成了经典的流体力学形式：
j=ρv。

相位梯度∇θ决定了概率流动的方向和快慢。哪里相位变化得快，那里的微观粒子“跑”得就快。

不过最精彩的地方是的“相位绕数 (Phase Winding)”。因为波函数必须是单值的，当沿着一个闭合回路绕行时，相位的改变量必须是2π的整数倍：

∮∇θ⋅dl=2πn (n∈Z)

这里就是复分析里的围道积分“绕原点多少圈”的量子力学版本。

这意味着环流 (Circulation) 是量子化的。这正是超流体和超导体以及玻色–爱因斯坦凝聚态中涡旋量子化 (Quantum Vortices)的根源。

同时在一个涡旋中心，相位的梯度趋向于无穷大（相位变得定义不明）。为了保持能量有限且物理逻辑自洽，波函数的振幅ρ必须在涡旋核心处降为0。

就像龙卷风的理论风眼是真空一样，量子流体的涡旋中心必须“没有粒子”，这样它才能在数学上允许相位在这里存在拓扑奇点。否则解析函数（可导概念在复平面上的推广，每一点都可导）的围道积分总是0。 http://t.cn/AXfsvCYF