多字母的计算题，宜分而治之
大罕

以下是一道关于复数的综合题，是上海市1991年高考数学第22题：
设复数z满足等式|z-i|=1，且z≠0,z≠2i，又复数ω使得[ω/(ω-2i)][(z-2i)/z]为实数，问复数ω在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，并说明理由．

题目的目标是求复数ω在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形，可是，另有一个复数z参入了搅和，且|z-i|=1,z≠0,z≠2i，同时，联系着两复数 ω与z的关系式又比较诡异：[ω/(ω-2i)][(z-2i)/z]为实数．

真要计算，势必设四个字母a,b,x,y才行：
设z=a+bi,z=x+yi(a,b,x,y∈R),
由|z-i|=1知，a²+b²-2b=0，且a≠0, b≠0,
设u=[ω/(ω-2i)][(z-2i)/z]，这时面临两条路中选哪一条继续走的问题．
第一条路，先做乘法，再把ω=a+bi,z=x+yi代入其中．虽运算较为繁复，但我有背水一战的勇气；
第二条路，把ω/(ω-2i)和(z-2i)/z先各自变形，然后再代入．。
比较一下，第二条路采用了分而治之的方式，分散了难点，降低了难度．于是有：
ω/(ω-2i)=(x+yi)/(x+yi-2i)
=[(x²+y²-2y)+2xi]/[(x²+(y-2)²]，
而(z-2i)/z=(a+bi-2i)/(a+bi)
=[(a²+b²-2b)-2ai]/(a²+b²)
=(-2ai)/(a²+b²)
这时，u=[ω/(ω-2i)][(z-2i)/z]的分母已为实数．
如果u为实数，起决定作用的只是分子，于是，下面我们考查其分子，则
u=[ω/(ω-2i)][(z-2i)/z]的分子
=[(x²+y²-2y)+2xi](-2ai)=4-2a(x²+y²-2y)i,
演算到此处，豁然开朗：
u为实数且a≠0，故x²+y²-2y=0，它表示圆心为点(0,1)，半径为1的圆．
似乎答案已经获得，可以呜鼓收兵了吗?
且慢! 看一看还有什么不周全的地方：
又：ω-2i≠0，此圆应除去点(0,2).

做完此题，掩卷深思：
遇到多字母、结构复杂的计算题，切忌一拥而上、硬算死算．宜分而治之，分层处理，各个击破，才能思路清晰、运算简洁、少走弯路．
作为数学教师，解题不仅要算得出，更要解得巧、讲得明，这才是数学思维的精髓所在．
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