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数学理论 vs 现实

纯粹的自然现象和测量误差会导致较清晰的正态分布，但人类对整数和里程碑式“节点”的偏好会扭曲分布。

一个人走进健身房，器械面前，选择合适的自己负重。

因为这个“人”是不确定的人，所以ta相当于一个随机变量，ta选的负重指标就是变量此时的赋值。

那么大量健身者的负重分布就应该近似 （有偏的）#正态分布# 。下图一的磨损痕迹很好的验证了上述观点。

但是请注意，磨损规律出现了一个例外——95kg。

为什么呢？

那些能举起 95 公斤的人会想：“我们直接举个100公斤吧”——所以形成了一个断点。

如图二，马拉松的完赛时间也类似。正常能在4小时10分钟左右跑完的人，会努力跑进4小时以内。结果偏离了理论上的统计曲线。

ps 都说正态分布是描述大量独立随机变量和的分布，那每个人的负重选择或身高只是单一的随机变量啊，为什么它的分布会接近正态分布？

因为像是身高或健身器材选择，这些“宏观”的随机变量本身就是多种因素作用的结果。所以只要这些因素足够独立，就能应用中心极限定理。

比如说你今天选择去健身，诱发因素可能有工作日程安排，最近的饮食习惯，遇到心仪的异性等多个因素。工作内容，情感和饮食虽说不是完全独立，但一般来说，还是相对独立的。

另外，经典的中心极限定理（CLT）要求变量满足 i.i.d（独立同分布），但更一般的版本（如林德伯格 Lindeberg、李雅普诺夫Lyapunov）允许独立但不同分布，只要满足某种“均匀小贡献”条件。

图四是自我报告身高与实际身高