2026年东京大学入学考试理科压轴题第(1)小题
大罕

此题有3问，第(1)小题相对简单，但不至于纯属“送分”的题目。@老张头2025 写道：“对2800作质因数分解，暴力枚举或者用一点简单的组合就可以得到f(2800)=16,g(2800)=14”.本文给出一个理性的解法.
【题目】设n为正整数，定义f(n)为n的正约数中，除以3余1的数的个数，g(n)为n的正约数中，除以3余2的数的个数，
(1)求f(2800),g(2800);
(2) (3)略.

【解析】
(1)2800=(2^4)×(5^2)×(7^1)，由除数函数φ(n)知，2800的正约数d的个数φ(2800)=(4+1)(2+1)(1+1)=30，
且d=(2^a)×(5^b)×(7^c)，其中a=0,1,2,3,4，b=0,1,2，c=0,1．
若d满足d≡1 (mod{3})，
注意到2≡-1,5≡2≡-1,7≡1,mod{3},
所以d=(2^a)×(5^b)×(7^c)≡[(-1)^a]×[(-1)^b]×(1^c)
=(-1)^(a+b),mod{3}，
要使得d≡1 (mod{3})，则a+b必为偶数，
a+b 偶（a偶且b偶）或（a奇且b奇），
那么a+b=0+0,0+2,2+0,2+2,4+0,4+2,1+1,3+1,计8个情况，
再考虑c取0,1两种情况均适合，由乘法原理知
f(2800)=8×2=16．
假设d满足d≡0 (mod{3})，即d是3的倍数，但这与d的质因子是2,5,7相矛盾，故此时d的个数为0．
由于2800关于模3的完全剩余系只能有余数为0,1,2三种情形，
故g(2800)=30-16=14．

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