思路平坦、路径惊险的正方形题的多解(1)
大罕

本题第2小题是求证一线段等于另二线段之和，这一题型学生常规解题思路仍偏向截长补短，但实际按思路方向推进时，需结合正方形对称性、垂直平分线性质多次转化，路径看似曲折“惊险”，实则每一步都有几何逻辑支撑.

【题目】如图1，在正方形ABCD中，P为线段BC上的一个动点，线段MN⊥AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，
⑴求证：AP=MN；
⑵如图2，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AP、BD于点E、F，求证：EF=ME+FN.

【解决】
第⑴小题的证明过程比较简单，作NP⊥AB于点P，易知△ABP≌△NPM，故AP=MN得证，如图1.
以下为本文重点，充分挖掘正方形以对角线为对称轴这一性质，设计三种证法，思路各有侧重，详述如下。

【证法一】基本思路是，线段MN被分成三段，即MN=ME+EF+FN，若证EF=(1/2)MN，则ME+FN=(1/2)MN，即EF=ME+FN，大功告成．故称之为“分进合击法”.
连接FA、FP、FC，
∵正方形ABCD以BD为对称轴，
∴FA=FC，且∠FCP=∠FAB，
∵MN垂直平分AP，∴FA=FP，⇒FP=FC，⇒∠FCP=∠FPC，⇒∠FAB=∠FPC，
⇒∠FAB+∠FPB=∠FPC+∠FPB=180°,
由四边形FABP内角和为360°，可知∠AFP=90°，（注：此处也可以运用“外角等于内对角，则四点共圆”，“圆内接四边形对角互补”证得）
由EF是直角三角形ABP的中线，知EF=(1/2)AP，
由⑴知AP=MN，
∴EF=(1/2)MN，
∴EF=ME+FN.
（未完待续）
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