为什么把诱导公式里的角α视为锐角？
大罕

诱导公式是将任意角的三角比转化为锐角三角比的公式．诸多公式可用两句话概括：
奇变偶不变，符号看象限．
所谓“符号看象限”，就是在把公式中的角α视为锐角的前提下，看原角所在象限里原三角比的符号．
为什么要视为锐角呢？

首先，不把角α视为锐角，运用公式时可能带来麻烦．举例如下：
有一道简单习题，学生做完之后出现了疑惑：
已知cos(π-α)=3/5，且α是第三象限角，那么cotα＝_____。
一学生从“α是第三象限角”出发，这样解：
       ∵α是第三象限角，
       ∴-α是第二象限角，
       ∴π-α是第四象限角，
       ∴由cos(π-α)=3/5，得cosα=3/5，
       ∵α是第三象限角，
       ∴ sinα=-4/5
       ∴ cotα＝cosα/sinα=-3/4.
出现疑问了：这道题答案明明是3/4(α是第三象限角,cotα>0)，为什么误为-3/4？
 实际上，应该从已知条件cos(π-α)=3/5出发，运用诱导公式（把α视为锐角，则π-α是第二象限的角，余弦为负值），可得
       -cosα=3/5，
      ∴cosα= -3/5，
 从而直接可得cotα=3/4.
学生之所以犯错，是因为对诱导公式中的“视α为锐角”不理解，特别是当出现了“α是第三象限角”这一条件的引诱后，思维出现了混乱．

其次，若把α视为锐角，不仅公式仍适用，而且带来方便，体现在：
第一，从公式的推导来看，我们是对任意角α推导其诱导公式的，没有刻意规定α是锐角或某象限的角，例如公式cos(π-α)=-cosα中，α是任意角，这样就具有一般性．
第二，我们在记忆诱导公式时，总把α视为锐角，那么选取符号就十分方便了。也就是说，“视α为锐角”是为了便于记忆和使用。

退一步讲，即使从“α是第三象限角”出发，照样可以推导出正确的结果来．过程如下：
  ∵ α是第三象限角，
  ∴ 2kπ+π<α<2kπ+3π/2 (k∈Z, 以下同) ,
  ∴ -2kπ-3π/2<-α< -2kπ-π,
  ∴ -2kπ-π/2<π-α< -2kπ,
  ∴ π-α是第四象限的角，
  ∴  cos(π-α)>0,
  注意到α是第三象限角，cosα<0,
  ∴cos(π-α) = -cosα>0．
结果是一样的！
但是，如此折腾是不必要的！从反面说明，何不把α视为锐角直接得到cos(π-α) = -cosα这一结果呢？！
也就是说，“视α为锐角”是记忆公式时用的一种手段．相反地，若不视为锐角，则可能导致麻烦，吃力不讨好．

不过，需强调的是：“视α为锐角”只是在运用诱导公式时才能这样的．在其它情形下，α是（第几象限的）角就是什么角。切不可因“视α为锐角” 产生误会。以下的问题值得研究：
已知cos(75°+α)=1/3, α是第三象限角，求cos(15°-α) +sin(α-15°)的值．
解：由条件cos(75°+α)=1/3，运用诱导公式可得cos(75°+α)= cos[90°-(15°-α)]=sin(15°-α) =1/3，
    再由sin(15°-α) =1/3>0，
可知15°-α在第一、二象限，              ①
   ∵α是第三象限角
      ∴-k×360°-270°<-α< -k×360°-180°,
      ∴-k×360°-255°<15°-α< -k×360°-165°,
      ∴15°-α在第二、三象限，               ②
     由①②可知15°-α在第二象限，
     ∴cos(15°-α) +sin(α-15°)
＝cos(15°-α) -sin(15°-α)
＝(1-2√2)/3。
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