为什么你解析几何永远算不完？因为高手永远先"设而不求"
今天聊一个让无数考生写到笔断的板块。
解析几何。大题第二道，十二分。题目就两行——"已知椭圆C，过定点P的直线交椭圆于A、B两点，求证：某某为定值"。你开始写：设直线方程y=kx+m，联立椭圆，写出韦达定理，代入目标式……草稿纸写满了三面，最后算出来一个带k和m的巨长式子，怎么也消不干净。十五分钟过去了，你含泪写下"显然，该值为定值"。
你以为是你算得不够快。不对。
是你从来不知道——解析几何的核心从来不是"算"，是"不急着算"。
你去市场买衣服。老板开价三百，你不会直接掏三百——你说"一百五行不行"。老板说"二百"。你说"一百八"。来回了三轮，你们在一百九成交。
整个砍价过程中，你没有一次真正"知道"最终价格，但你从头到尾都在用一个东西在逼近它——这就是"设而不求"。
设k而不求k，设m而不求m。你设了直线方程，你联立了，你写出了韦达定理，但你不急着解出A和B的坐标。为什么？因为你最终要的东西——弦长、面积、定值、定点——全都可以用x₁+x₂和x₁x₂表达。而x₁+x₂和x₁x₂，韦达定理已经用k和m给你写好了。
你如果傻乎乎地解出A和B的坐标再代，相当于每次砍价都先掏全款再谈折扣——钱都付了还谈个屁。设而不求就是押金模式：我先占个位，最后要结账的时候一次性消掉。
韦达定理说：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。你背得滚瓜烂熟——但你有没有想过，为什么这个定理是解析几何的命根子？
因为它在你不知道x₁和x₂具体是谁的情况下，告诉了你它们的和与积。解析几何百分之九十的题目，目标表达式都能化成关于和与积的对称式。
你点外卖凑满减。你不需要知道具体哪道菜多少钱，你只需要知道"总价够了就行"。总价就是和。你有时候还要算"两道菜均价多少"，那还是和除以二。你从头到尾不需要单独知道鱼香肉丝多少钱、宫保鸡丁多少钱，你只要知道它们加起来够不够满减。这就是韦达定理。
题目问你|AB|（弦长），公式里是(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂——全是对称式。题目问你k₁·k₂，往往是y₁y₂/x₁x₂——全是对称式。题目问你以AB为直径的圆的方程，圆心是中点（和的一半），半径是弦长的一半——全是对称式。
你每次都在用韦达定理，你只是没管它叫数学名字。
解析几何最经典的压轴问法：求证直线过定点。
你每天从家走到地铁站，不管你出小区走哪个门，你最终一定会经过那个红绿灯路口——那个路口就是"定点"。不管你的路径怎么变（k怎么变），那个路口是死的。
解析几何找定点的思路跟你找必经之路一模一样：你写出含参直线方程，把参数整理到一边。既然直线"无论参数取什么值"都过定点，那参数前面的系数必须等于零。系数等于零，定点就出来了。
你在生活中找到那个"不管怎么变都不变的东西"，就是在做定点问题。你妈说"不管你将来干什么，身体最重要"——她给你找了一个定点。
解析几何有个永恒的纠结：什么时候该硬算，什么时候该巧算？
你搬家的时候已经在做这道题了。衣服塞箱子——硬装就行，不需要思考。钢琴怎么搬——你得先想好走哪个门、拐哪个弯、要不要拆门框。衣服就是"常规联立"，钢琴就是"含参讨论"。
判断标准只有一个：看目标式是不是对称的。对称的——别解坐标，用韦达定理。非对称的——选一个坐标用方程换掉另一个，归一化。
你考试的时候算不出来，往往不是算错了——是在该用韦达的时候解了坐标，该解一个坐标的时候试图全解。跟搬家搬钢琴一样，方向错了，力气白费。
解析几何的本质，不是你算得有多快——是你能不能在算之前，先想清楚"什么不用算"。设而不求，是你这辈子用了一万次的砍价策略。韦达定理，是你天天在算的"只要总和不要明细"。定点定值，是你每天找的"不管怎么变都不变的东西"。
你不是不会解析几何。你是太急着算了。 http://t.cn/zQBbkfb