量子比特可以“同时处于0和1”吗？ | 袁岚峰
向大家推荐一家著名的科普杂志，它叫做《科学世界》，由中国科学院科学出版社主办，制作精美，声誉卓著。他们邀我开了一个专栏，从2025年1月开始。下面，我就来介绍一下我在《科学世界》2025年9月刊的文章，标题是《量子比特可以“同时处于0和1”吗？》。
前面我们介绍了量子信息（quantum information）这门学科的大图景，它包括三个部分：量子通信（quantum communication）、量子计算（quantum computing）和量子精密测量（quantum metrology）。上一期我们集中介绍了量子精密测量，这是因为要理解它相对比较容易。我们不需要对量子力学原理有任何了解，光从量子精密测量这个名字就可以明白它的效果，即提高对某些物理量的测量精度。但如果我们想要理解量子通信和量子计算，就必不可免需要对量子力学原理有相当程度的了解，否则就很难看懂这两个领域研究的是什么。
那么，量子力学有多少原理呢？可以说有很多。如果我们要正儿八经讲量子力学课，可以讲好几个学期。不过在量子信息中，用的最多的原理主要有三个：量子叠加、量子测量和量子纠缠。我们可以用动漫式的语言，把它们称为“三大奥义”。下面，我们就来介绍这三大奥义中的第一个：量子叠加（quantum superposition）。
首先需要强调一下，量子叠加是一个科普的重灾区。你可能在很多科普文章中看到过类似这样的表述：量子计算机中的量子比特可以同时处于0状态和1状态，这使得它的能力远超经典计算机……
这种说法看起来非常高大上，有一种玄学或者禅宗的美感，但也非常令人迷惑。你如果一较真，就会发现根本搞不清这话是什么意思：是说量子比特同时处于不同的两个状态？难道量子力学推翻了逻辑学中的排中律？还是说量子比特迅速在0和1两个状态之间切换？那它和一个在两个状态之间迅速切换的经典体系（例如佛山无影脚）有什么区别？还是说量子比特处于一个既不是0也不是1的不确定的状态？还是……时空分裂了？（脑洞开得太大，已阵亡……）
实际上，量子力学并没有推翻逻辑学，它也不是禅宗打机锋或者佛山无影脚。正确的理解是，上面这种说法压根就不对。是的，一个惊人的事实是，许多在媒体中经常传的说法、好像已经成为常识的东西，其实是错误的，其实就是许多人在以讹传讹。这只是一个例子，后面我们还会看到更多的例子，在量子纠缠、量子通信和量子计算中都有。
那么正确的说法是什么？是：量子比特不仅能处于0状态和1状态，还能处于0和1的任意叠加态。
这话看着不像前面那种说法那么玄而又玄了，但也不是一眼就能理解的。核心问题是，什么叫做叠加态？下面，我们就来解释一下。
对信息科学有了解的人，肯定都听说过，信息科学的基本操作单元是比特（bit），即二进制数位（binary digit）。如果一个体系有且只有两个状态，那么它就可以用来表示比特。例如一个开关，只有开和关两个状态，又如掷硬币，只有正面朝上和反面朝上两个状态，还有晶体管的导通和断开等等，这些都是非常常见的比特的例子。
然而在量子信息中，基本操作单元不是比特，而是量子比特（quantum bit，简称qubit）。它跟比特的区别是什么呢？如果说比特好比一个开关，那么量子比特就好比一个旋钮！旋钮的特点是，它是连续可调的，它不是只有一个状态，而是有无穷多个状态。
所以如果你知道，量子信息的基本操作单元是量子比特，经典比特只有两个状态，量子比特却有无穷多个状态，你的知识水平就超过了90%的人。
但旋钮或者说有无穷多个状态的体系在日常生活中也是很多的，为什么单凭这一点并不能实现神奇的效果，而量子比特就可以呢？这是因为量子比特还具有一个关键的性质，这个关键性质就是我们要讲的第一个奥义：叠加。
具体而言，一个量子比特的无穷多个状态都可以用两个基本状态的“线性叠加”（linear superposition）表示出来。事实上，量子力学中有一个“叠加原理”（superposition principle），它说的是：如果两个状态是一个体系可以取到的状态，那么这两个状态的任意线性叠加也是这个体系可以取到的状态。
下面的问题是，线性叠加是什么意思？
其实，只要学过中学的解析几何，就可以理解线性叠加。它就是两个矢量各自乘以一个常数，然后加起来。
比如取一个0度方向的单位矢量i和一个90度方向的单位矢量j，它们的长度都为1。把它们直接相加得到i + j，即i和j的系数都是1，这就是一个45度方向的矢量，长度为sqrt(2)。
把0度方向的单位矢量减去90度方向的单位矢量，就得到i - j，即i和j的系数分别为1和-1。它是一个-45度方向的矢量，长度也是sqrt(2)。
如果我们要得到正负45度方向的单位矢量，就需要在前面两个矢量的基础上除以sqrt(2)，即分别是(i + j) / sqrt(2)和(i - j) / sqrt(2)。如果要得到其他方向比如说30度、120度或任意角度的矢量，都可以做到，只要调节i和j的系数就行了。
所以我们说，i和j构成一个“基组”（basis set）。通过这个基组中两个矢量的线性叠加，可以得到其他任意方向的矢量。这就是线性叠加的重要之处。
在量子力学中，一个体系的状态可以用一个矢量来表示（这一点很容易理解，至少很容易记住）。还有一条规定，量子力学中表示体系状态的矢量长度必须等于1，或者说，处于同一个方向而长度不同的矢量其实对应的都是同一个状态，所以我们只看长度为1的那个矢量就行了（这一点不是那么容易理解，需要学量子力学教材才能明白为什么会是这样）。在理解量子叠加时，只要记住量子力学中的状态对应矢量，就够了。
有一种符号可以很方便地表示量子态，叫做狄拉克符号（Dirac notation），它是由英国物理学家、1933年诺贝尔物理学奖获得者保罗·狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902 — 1984）提出的。狄拉克符号就是一个尖括号|>，你可以在里面填上任意的数字、字母甚至一句话，用来表示某种状态。
例如，我们经常用|0>和|1>来表示0度方向的矢量和90度方向的矢量。那么45度方向的矢量就等于(|0> + |1>) / sqrt(2)，我们往往把它记为|+>，而-45度方向的矢量就等于(|0> - |1>) / sqrt(2)，我们往往把它记为|->。
用狄拉克符号来表述，叠加原理说的就是，如果一个量子体系可以处于|0>和|1>两个状态，那么它就可以处于任意的a|0> + b|1>状态，其中a和b是两个数，a|0> + b|1>就是|0>和|1>的一个叠加态。用矢量的语言说就是，如果一个量子体系可以处于0度和90度两个状态，那么它就可以处于任意角度的状态。
对a和b这两个数唯一的限制是，它们的绝对值平方和要等于1，即|a|2 + |b|2 = 1。这就是因为前面说的，量子力学中表示状态的矢量的长度必须为1。
下面我们来举一个具体的例子。一种常见的可以表示量子比特的物理体系是偏振光（polarized light），——学过高中物理的应该都知道偏振光这个概念。
光的本质是电磁波，电场和磁场是在振动的，它们振动的方向与光的传播方向垂直（也就是说，光波是横波）。如果电场振动的方向只位于某个平面内，我们就说这束光是偏振的。
大部分时候，我们见到的光没有偏振，即电场在所有方向上是平均分布的。但我们也有办法来制备偏振，例如让无偏振的光去通过一个偏振片，出来的光就会只剩下跟偏振片相同方向的偏振。有一种3D眼镜的原理，就是左右两个镜片分别是不同方向的偏振片，两眼通过它们看到略微不同的图像，由此产生立体感。
如果我们把水平方向偏振的光子称为|0>态，把垂直方向偏振的光子称为|1>态，那么很显然，我们可以通过|0>态和|1>态的线性叠加，来得到任意其他偏振方向的状态，例如正的45度、负的45度、30度、120度。显然，这些状态也都是可以制备出来的（把偏振片旋转就行）。这就是一个叠加原理的例子。
这个例子可能让你一方面恍然大悟：原来量子叠加是一个这么简单的事，这不是显而易见的吗？一方面也让你有点迷惑：这么简单的事，怎么会产生神奇的效果？
其实单凭量子叠加并不能产生神奇的效果，因为我们还没有提对叠加态做测量会得到什么结果。真正让量子力学变得非常神奇，以至于让很多大物理学家都表示“没有人懂量子力学”的，是量子力学中的测量，我们下次再来介绍它。
还有一点值得说的，是我们上面特意挑了一个最容易理解的例子，偏振光。一束光可以处于任何方向的偏振，这看起来非常正常，完全人畜无害。但实际上，量子叠加还有很多不是那么容易理解的例子。
例如位置的叠加：一个电子如果可以处于A地，也可以处于B地，那么它就可以处于A地和B地的叠加态。按照叠加原理，这是必然的。但按照经典力学的思维，就无法理解了：两个地点的叠加态是什么意思？这个电子到底在哪里？
还有更不可思议的，死活的叠加，即鼎鼎大名的薛定谔猫（Schrödinger’s cat）。如果一只猫有活态和死态，那么它必然可以处于死活的叠加态。但我们从来没有观察到这样一只不死不活的猫，所以这究竟是怎么回事？
许多人之所以无法理解量子叠加，就是因为这些惊人的例子。但我们需要强调的是，在目前的实验范围内，叠加原理是完全正确的。它经过了一百多年的实验检验，目前还没有发现反例。它已经成为了我们认识世界的一个基础，至少是认识微观世界的一个基础。
这里留了个尾巴，宏观世界是怎么回事呢？有没有可能，体系大到一定程度就不存在量子叠加了，即宏观世界跟微观世界之间存在一条明确的界线？
答案是我们目前不知道，这是一个量子力学的前沿。对此有各种各样的理论，也有一些实验在进行或者在准备。就我本人而言，对各种可能的实验结果都持开放态度。
但无论如何，本文至少可以产生一个祛魅的效果。就是你以后再听见“量子比特可以同时处于0和1”这种说法，你就可以立刻指出：这完全是误解！一个量子体系不是可以同时处于两个状态，而是可以处于这两个状态的任意叠加态。这个叠加态是一个有良好定义的（well-defined）状态，而不是某种玄学状态。如果你能理清这些概念，你的知识水平就超过了99%的人。
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