初三几何题：无刻度直尺作图
大罕

尺规作图是平面几何历史上的一项重要内容，作图时只能使用无刻度的直尺和圆规，既具一定难度，也相当有趣。然而，当今教材对学生的要求不高，相关题目也较少，因此遇到这类题时，往往因为不太熟悉而感到困难。下面是一道初三的几何作图题。

【题目】如图，在方格纸中，分别作出点P₁、P₂、P₃关于直线AB的对称点，要求用无刻度的直尺作图，并写出作图的结论。
【说明】使用无刻度的直尺只能完成少数基本操作：连接两点得到线段，找两条相交线段的交点，利用格点矩形可以得到平行或垂直关系。显然，这把直尺无法测量长度，只能借助图形性质判断线段相等。具体操作，详见下文。

【第⑴的解法】
如图1，AB是5×1格点矩形上升的对角线，以P₁为顶点作一个1×5的矩形，且P₁E是其下降的对角线，则P₁E⊥AB，
CD也是5×1格点矩形上升的对角线，则CD∥AB，
点A是P₁C的中点，由平行线截得成比例线段定理，可知AB平分线段PQ，故点Q是点P₁关于AB的对称点。
【注1】5×1格点矩形是指长宽分别是5格和1格的卧式矩形，而1×5格点矩形是指长宽分别是5格和1格的立式矩形。如果对角线从左往右看是上升的线段，则称为上升对角线，从左往右看是下降的线段，则称为下降对角线。

【第⑵的解法】
如图2，AB是5×2格点矩形上升的对角线，以P₂为顶点作一个5×2的矩形，且P₂E是其下降的对角线，则P₂E⊥AB，
CD也是5×2格点矩形上升的对角线，则CD∥AB，
点A是P₂C的中点，由平行线截得成比例线段定理，可知AB平分线段PQ，故点Q是点P₂关于AB的对称点。
【注2】本小题的解法与前面的解法完全一样，仅把P₁改为P₂即可。

【第⑶的解法】
如图3，点P₃是线段CD的中点，欲求作P₃关于AB的对称点，需先求C、D两点关于AB的对称点。
AB是5×2格点矩形上升的对角线，以C为顶点作一个5×2的矩形，且CM是其下降的对角线，则CM⊥AB，
CN也是5×2格点矩形上升的对角线，则CN∥AB，同理LT∥AB；
点A是CL的中点，由平行线截得成比例线段定理，可知AB平分线段CE，
故点E是点C关于AB的对称点，同理可知点F是点D关于AB的对称点。
以下求作EF的中点：因为EKFJ为矩形，连接JK交EF于点Q，则Q点为EF的中点，即点Q是点P₃的对称点。证毕。

【小结】本题通过递进式设问，前面小题为后面提供思路与模板，这也是难题或压轴题的常见设计。如果直接拿出第三小题来考学生，无疑陡升了难度，显得动作粗暴，这种做法一般并不可取。
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