哼一首曲子停不下来？要感谢数学！【成功的#耳虫歌曲#需要很多因素，包括数学对称性】#PS知趣#

极其“上头”的音乐旋律能让人彻夜难眠，但这真不是你的错。流行文化中一些“耳虫歌曲”的成功并不是偶然的，它们往往经过精心设计，以实现最大化的记忆效果。如今，你甚至可以去攻读商业歌曲创作的学士学位了。

对音调的数学研究至少可以追溯到公元前 5 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派哲学家，但关于音符背后的数字规律，我们仍有许多需要探索。在加拿大安大略省的滑铁卢大学，计算力学研究人员最近从代数的角度研究了音乐旋律，他们发现许多流行歌曲有一个未被充分认知的组成部分：对称性。（研究成果在第六届应用数学、建模与计算科学国际会议上发表）

研究者表示，当把旋律视为可以变换的形状时，就能清楚地看到，几个世纪以来作曲家们一直在直觉地运用这类对称性。研究团队主要运用了#群论#——这是数学的一个分支，专注于研究变换和镜像模式。

他们首先将半音阶中的 12 个音符对应到 1～12 的数字占位符，然后将各种旋律分解成离散的音符组。这使得他们可以将曲调表达为代数符号。团队随后分析了某些最常用技巧如何影响歌曲的整体结构，这些技巧包括：‌倒影‌（翻转曲调）、‌移调‌（整体升高或降低音高）、‌逆行‌（反向演奏）和‌平移‌（在时间轴上的移动）。

研究主要关注两种基本对称类型——‌音调对称‌与‌位置对称‌。基于这些概念，他们成功创建了公式，用以阐明一条旋律如何既能保持基本结构，又能以可预测的模式进行有目的的演变。

结果令人惊讶：数学是如此清晰地将音调结构与位置结构分离开来。这种二元性帮助我们识别仅凭耳朵或查看乐谱难以察觉的模式。这也意味着我们可以系统地构建并计算在给定长度下所有可能的对称旋律。

研究人员相信，他们的工作可能有助于作曲家构思新的音乐可能性，并为歌曲创作和研究的新方法铺平道路。不过，尽管这可能帮助一些艺术家，但仍有一些人将音乐创作的功劳归于其难以言喻的特性。一位知名词曲作家对此评论道，“我不反对任何人从数学原理中寻找音乐灵感。但对我来说，音乐创作超乎自然。”