我最近这段时间，一直在研究AI，我试着把某些学生从小到大的卷子，输入到AI当中去，对他们的卷子进行了一些分析，然后发现了一些有趣的事情。

很多人对数学的理解，从根上就错了。他们以为数学是一条平铺直叙的大马路，学完第一章走第二章，学完第二章走第三章，前面学的不扎实没关系，后面跑两步就能补上。完全不对。也许语文可以吧，但是数学完全行不通。

数学根本不是线性的，它是一棵严格的、自上而下生长的逻辑树。没有任何一个知识点是凭空长出来的，每一个知识点，都是后面几十个、几百个知识点的基础。你小学背的乘法口诀，是所有计算的根；你初中学的因式分解，是整个代数体系的主干；你高中学的函数定义，是所有高等数学的地基。

这棵树最不讲情面的地方在于，它的每一个节点，都必须100%，甚至要1000%的牢固。只要有一个节点是松动的，那么长在这个节点上面的所有树枝、树叶、果实，都会跟着一起摇晃。而且这个摇晃的幅度，不是线性增加的，是随着树的高度呈指数级增长的。

我给你举个简单的例子：因式分解。

如果因式分解你只是半懂不懂，没有通过大量刷题，练到条件反射的程度，那么学二次函数的时候，别人扫一眼题目，已经在想根与系数的关系、图像的平移变换、最值怎么求了，你还在那里吭哧吭哧地掰着手指头算十字相乘。这时候，你的错误率已经比别人高了一倍。

等到学解析几何的时候，要联立直线和圆锥曲线的方程，最后必然要解一个二次方程。这时候，别人已经在想怎么用韦达定理简化计算、怎么用几何性质绕开复杂运算了，你还在那里解那个二次方程，解十次错八次。你的错误率又翻了一倍，变成了四倍。

等到了导数，要找极值点、要分类讨论、要构造函数证明不等式，别人已经在冲击压轴题最后一问了，你连第一步求导之后的因式分解都搞不定。你的错误率再翻一倍，变成了八倍。

你看，一个初二的、看起来毫不起眼的小漏洞，经过三次放大，到了高三，就变成了二三十分的差距。如果你有三四个这样的漏洞，那就是几十分的差距，直接决定了你是考专科还是考985。这就是为什么很多人到了高三，数学会突然断崖式下跌，不是因为他们变笨了，也不是因为高中数学突然变难了，而是他们从小学到初中埋下的所有漏洞，在这一刻集中爆发了。

为什么这个效应是指数级的，而不是线性的？原因很简单，两个字：复用！

一个基础知识点，不是只用一次，而是会被后面所有的知识点反复调用。你乘法口诀没背熟，你做除法会错，做分数会错，做代数会错，做几何会错，做统计会错。它不是只影响一道题，它是影响所有需要用到它的题。你在一个点上偷了一个小时的懒，后面就要在一百个点上还债。

更可怕的是，漏洞会自己繁殖新的漏洞！

你因式分解没学好，你就不可能真正理解二次函数的本质；你不理解二次函数，你就不可能真正理解函数的单调性和奇偶性；你不理解函数的性质，那整个高中数学对你来说就是天书。旧的漏洞还没补上，新的漏洞又冒出来了，越积越多，越滚越大，最后变成一个你根本填不完的天坑。

为什么之前没有人像这样把这个道理说透？因为大部分人只能看到眼前的东西，只能看到直接的因果关系。一个学生在初二的时候，因式分解没学好，在当时的单元考试里，可能只表现为扣了三五分。老师会说"你太粗心了"，家长会说"你下次认真点"，没有人会意识到，这三五分的差距，在三年后会变成二三十分的差距。

而且传统的单元考试，会把漏洞的影响给大大掩盖掉。一个因式分解的漏洞，在单元考里可能只扣三五分。只有到了综合性考试，当多个知识点需要连续调用的时候，漏洞的连锁放大效应才会彻底爆发出来。但这时候，往往已经晚了。

现在AI的出现，第一次让我们站在了上帝视角。它可以看到一个学生从小学到高中的完整学习轨迹，可以看到每一个知识点的掌握情况，可以清晰地看到一张多米诺骨牌是如何从第一张开始，一步一步推倒最后一张的。而大部分人类老师，只能看到最后一张骨牌倒下的结果，然后无奈地说一句"这孩子基础不好"。

所以听我一句劝：与其事后诸葛亮，不如现在拼命刷题，趁现在不忙，把所有可能会考到的题目，全都刷到完全熟练了，彻底做到防患于未然。