很多人学条件概率、全概率、贝叶斯公式时，最容易卡在公式上。
​其实核心不是公式复杂，而是你脑子里的“分母”没换过来。
​条件概率不是说集合 A、集合 B 变了，也不是韦恩图里的圆在移动。
​更严谨地说：
​A 不变，B 不变，全集 Ω 也不变。
​变的是：计算比例时，拿谁当分母。
​比如：
​P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
​它真正的意思是：
​在 B 这块固定区域里，A 和 B 的交集，占 B 的多大比例。
​所以条件概率的本质是：换分母。
​乘法公式：
​P(A∩B) = P(B) × P(A|B)
​它的意思也很直观：
​交集在整体中的比例
= B 在整体中的比例
× 交集在 B 内部的比例。
​全概率公式：
​P(A) = P(B1)×P(A|B1) + P(B2)×P(A|B2) + P(B3)×P(A|B3) + …
​它其实就是：
​先把整体 Ω 分成几块，分别计算 A 在每一块里的贡献，最后加起来。
​贝叶斯公式：
​P(A|B) = P(A)×P(B|A) / P(B)
​看起来抽象，其实本质也很简单：
​同一个交集 A∩B，可以从两个方向看。
​从 A 的方向看，是 P(A)×P(B|A)。
​从 B 的方向看，是 P(B)×P(A|B)。
​两边看到的是同一块交集，所以可以互相转换。
​一句话总结：
​条件概率：换分母。
乘法公式：交集 = 外部比例 × 内部比例。
全概率：分块后求和。
贝叶斯：同一交集，换方向归一化。
​学概率，别只盯公式。
​盯住韦恩图里的“分母”，很多公式会突然变得很自然。 http://t.cn/zQBbkfb