一道值得反复品味的数列题
近期武汉五调的试卷里，有一道多选压轴题让人印象非常深刻，可以说是整份卷子中最有价值的一道小题。这份试卷由武汉本地核心教师按照高考封闭式要求命制，整体质量相当高，尤其是这道数列题，初看可能会觉得困难，但静下心来梳理，会发现它的思路其实非常清晰。
题目给定了两个实根，并据此构造了一个新数列，要求判断几个结论是否正确。处理数列问题时，寻找递推关系是一种很核心的思维习惯，如果能进一步找到通项公式自然更好，但即便找不到，递推关系本身也往往能解决大部分问题。
这道题正是这种思想的完美体现。从两根之和与两根之积出发，结合根本身就满足的方程，通过对相邻项进行代换，就能非常自然地得到一个简洁的递推公式。有了这个递推，后续选项的判断就如同拨云见日。
比如判断首项时，直接利用定义计算a0为1，a1为2，再结合递推，a2得7，a3得26，答案一目了然。判断某个含ak的复杂表达式是否为常数时，代入递推进行代数化简，提取公因式后会发现它恒等于3，自然就不会是2。
处理个位数问题时，同样不需要求出完整的项的值，只需要聚焦末位数字的运算。由于递推关系中只涉及四则运算，十位及以上的数字对末位结果没有影响，因此完全可以只跟踪末位数进行递推。
从a3末位为6开始，逐步推算，会发现末位以6为周期循环，要求a2026的末位，只需用2026除以6得到余数为4，对应a4的末位7，思路轻松又巧妙。
整套武汉五调的命题透露出一个信号，那就是压轴题的思维门槛确实不低，它鼓励学生先观察结构再动手，这与解析几何中倡导的半代数半几何思维、函数题中结构先行的理念一脉相承。
计算耐力同样是硬通货，任何一步代数变形出错都可能引发连锁反应。这道数列题还有一个选项考查了完全平方数，如果正面硬算a2022显然不现实，但换个角度，找到a2n与an平方之间的等量关系，就能将问题瞬间化简，得出a1013的平方这个结论，从而判断其为完全平方数。
这道题给人的启发在于，面对难题时，可以先猜后证，运用必要性探路、寻找规律与内在结构等策略。它并非靠堆砌计算量来制造障碍，而是巧妙地综合了递推思想、周期性规律与代数变形技巧，每一问都对应一种清晰而典型的数学方法。
从递推公式的推导，到选项的逐一验算，整个过程逻辑连贯，没有冗余的弯弯绕绕，是一道值得反复品味、能让人真正领会数列问题本质的漂亮题目。​ http://t.cn/zQBbkfb