高中数学导数典型例题
一、求切线方程

例1

已知函数 f(x)=x^3-2x+1，求在 x=1 处的切线方程。
解：
f(1)=1-2+1=0，切点为 (1,0)
f'(x)=3x^2-2，斜率 k=f'(1)=1
切线方程：y=x-1

 

例2

求 f(x)=e^x+\ln x 在 x=1 处的切线方程。
解：
f(1)=e，f'(x)=e^x+\dfrac1x，k=e+1
切线方程：y=(e+1)x-1

 

二、单调性与极值

例3

已知 f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求单调区间和极值。
解：
f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)
令 f'(x)=0，得 x=-1,x=3

当 x∈(-∞,-1) 时，f'(x)>0，函数单调递增；
当 x∈(-1,3) 时，f'(x)<0，函数单调递减；
当 x∈(3,+∞) 时，f'(x)>0，函数单调递增。

极大值：f(-1)=10
极小值：f(3)=-22

 

例4

求 f(x)=x^3-3x 在 [-2,2] 上的最值。
解：
f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
令 f'(x)=0，得 x=-1,x=1

f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2

最大值：2，最小值：-2

 

三、含参单调性

例5

已知 f(x)=x^2-a\ln x(a>0)，求单调区间。
解：定义域 x>0
f'(x)=2x-\dfrac{a}{x}=\dfrac{2x^2-a}{x}
令 f'(x)=0，得 x=\sqrt{\dfrac{a}{2}}

x∈(0,\sqrt{\dfrac{a}{2}}) 时，函数单调递减；
x∈(\sqrt{\dfrac{a}{2}},+∞) 时，函数单调递增。

 

四、恒成立求参数范围

例6

已知 f(x)=x^2-2x+a\ln x，f'(x)≥0 在 (0,+∞) 恒成立，求 a 的范围。
解：
f'(x)=2x-2+\dfrac{a}{x}≥0
a≥-2x^2+2x

令 g(x)=-2x^2+2x，最大值为 g(\dfrac12)=\dfrac12
所以 a≥\dfrac12

 

五、零点个数问题

例7

判断 f(x)=x^3-3x+1 的零点个数。
解：
f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
极大值 f(-1)=3>0
极小值 f(1)=-1<0

所以函数共有3个零点。

 

六、构造函数比较大小

例8

已知 f'(x)>f(x)，f(1)=e，比较 f(2) 与 e^2。
解：
构造 g(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}
g'(x)=\dfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}>0，g(x) 递增

g(2)>g(1)，得 f(2)>e^2

 

七、导数证明不等式

例9

证明：x>0 时，\ln(x+1)≤x
解：
令 f(x)=x-\ln(x+1)
f'(x)=\dfrac{x}{x+1}>0，f(x) 在 (0,+∞) 递增
f(x)>f(0)=0
所以 \ln(x+1)≤x

 

八、综合压轴题

例10

已知 f(x)=e^x-ax
（1）求单调区间；
（2）若 (f(x)≥1