几个小时前， NYU 的数学教授 Tristan Buckmaster 在社交媒体上发布了一个声明。
基本上的意思是：
1. NS 方程问题（注：NS 方程问题是数学上最重要的开放问题之一，是7个千禧年问题之一）已被解决，用到了 OpenAI Codex，合作者包括在 Anthropic 的 Levent Alpöge（也就是前一阵用AI 找到雅可比猜想反例的那位）
2. “OpenAI 试图抢夺 credit”

（一个附注：这里他们证明的不是通常意义下 NS 问题的标准表述：3D NS 从普通光滑初值不施加外力会不会有限时间爆炸，而是允许光滑外力的 blow-up 版本，对应 Fefferman 官方问题表述里的 option c and d。）

以下是声明全文的中文翻译：

今天，Levent Alpöge 和我公开了三项成果：不可压缩多孔介质方程在光滑外力作用下的有限时间爆破、Boussinesq 方程的有限时间爆破，以及三维不可压缩 Euler 方程的有限时间爆破。

我们相信，我们还得到了亚耗散（hypo-dissipative）Navier–Stokes 方程的爆破结果。我们今天没有发布那篇论文：与前面几项成果不同，它的 Lean 验证尚未完成。我们甚至还没有一份称得上可以见人的论文稿。我之所以在这里提到它，是因为它暗示了一条通往无外力 Euler 方程的可能路径。

我们所参与的这个研究计划并不是由我们发起的，也不是由某个大型语言模型提出的。这一研究计划的基本思想，应当归功于 Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa。过去几年里，他们一直在探索如何构造带外力的爆破解。我们以他们的工作为起点，借助大型语言模型，将他们的研究计划推进到了完成。

更具体地说，Córdoba 和 Martínez-Zoroa 的研究计划已经在粗糙外力条件下取得了爆破结果；Levent 和我所做的，是在 LLM 的大量帮助下，把这一计划推进到光滑外力，并进一步推进到不可压缩 Euler 方程。使这条研究路线成为可能的思想属于 Córdoba 和 Martínez-Zoroa。我要把一件我私下里已经对同行说过的话公开讲清楚：鉴于这一系列工作，我认为 Luis Martínez-Zoroa 配得上一枚菲尔兹奖。

我和 Levent 的合作完全是私人性质的，不涉及任何机构协议，也没有我们各自雇主的任何官方参与。在整个过程中，我们使用了多个 LLM：Anthropic 的 Claude、OpenAI 的 Codex，尤其是搭载 GPT-5.6 Sol 的 Codex，以及最近的 Astra。后者只用于论文撰写和对我们论证的审查。

过去一年的大部分时间里，我们的进展都很缓慢。我们梳理文献，并不断加强各种初步结果，最终得到了不可压缩多孔介质方程（Incompressible Porous Media equation）在光滑外力作用下的有限时间爆破。

直到大约一个月前，事情才出现真正的突破：8 月 15 日，我们得到了 Boussinesq 和 Euler 方程在光滑外力作用下的爆破结果。我可以说，Levent 发给我的第一份由 LLM 生成的证明，是我这辈子读过的最可怕的证明；我们在 8 月 22 日用 Lean 完成了对它的验证。从那以后，我们一直昼夜不停地工作，试图理解这个证明，并把它改写成某种人类可以阅读的东西。

这个故事还有另外一部分，而且坦率地说，我非常希望自己根本不必为这部分事情操心。

我对这些论文目前的呈现质量并不满意。理想情况下，我们本来希望花上几周时间，把 LLM 生成的证明从第一页开始就改造成真正可读的数学论证。这些问题，以及长期投入这些问题的学术共同体，都值得这种程度的认真对待。

尤其是 Boussinesq 和 Euler 的几份稿件，与其说像人写的论文，不如说更接近在人的指导下由模型生成的内容。特别是 Euler 那篇稿子，只能用 AI 垃圾（AI slop）来形容。

对此我很抱歉。

原因我会在下面说明，它们涉及我们受到的一些外部压力。我说这些不是为了给自己找借口，而只是为了解释发生了什么。

原本在宣布我们的工作时，我打算说：真正重要的并不是这些结果本身。

真正重要的是，如今一名数学家和一个 LLM 模型可以在一个月之内完成这一切。

这对于我们今后如何培养学生、如何分配学术功劳、如何进行同行评审，以及如何决定什么问题值得一个人用一生去投入，其意义无论怎样强调都不过分。

这是一个 Deep Blue–Kasparov 时刻。

数学共同体需要认真而从容地讨论，我们接下来究竟要走向哪里。

然而，现在我却没有在谈这些极其重要的发展，而是在写另一件事情。

我想尽可能直白地说明究竟发生了什么。

9 月 3 日星期四，当时外界正在流传一个传闻，说 Anthropic 已经解决了一个重要的开放问题；与此同时，Levent 也得到了一些消息，称有关我们研究进展的信息已经被传给了 OpenAI。于是，我给 OpenAI 的一位知名数学家写了邮件。

我在这里全文引用这封邮件，因为相比于我自己的概括，我更希望大家直接读到原文：

“你好，[……]，

我们还没有线下见过，不过我曾经是 [……] 的演讲者之一。

我给你写信，是因为现在似乎正在迅速流传一个消息，说 Anthropic 已经解决了一个重要的开放问题。我无法确定这个传闻指的人是不是我，但昨天 Courant 的一位同事给我发了邮件——他是从英国的一位分析师那里听说的，而那位分析师又是从更上游的某个地方听来的——所以看来，可以比较安全地假定这个传闻确实与我有关。

据我了解，科技圈里似乎也在流传一些版本，把 Levent Alpöge 与某个问题的解决联系在一起。不过，对于究竟解决了什么问题，目前显然存在大量混乱。

我也需要强调，这并不是一项机构层面的工作。这严格来说只是我们两个人之间的私人合作，背后没有任何正式协议。

我的研究组使用的工具都是由我自己的科研经费支付的，其中包括支付给 OpenAI 的一大笔费用。我以前也和工业界有过合作——和 DeepMind——但那一次存在正式的机构协议。

我们的确在这个方向上取得了我们有信心的成果，而且很快就会发布，论文和形式化验证会一起公开。

我们有意决定，不要把一份 Lean 证书和一篇未经打磨的预印本仓促地一起扔出去。我非常坚持，任何人首先读到的都应该是一套按照正常数学方式呈现的论证，而不应该只是一份形式化验证证书。

我选择直接写信给你，而不是公开说什么，是希望你掌握事实，以便你们那边能够据此处理这件事。

祝好，

Tristan”

他当天回复了我：

“如果你愿意透露任何细节，那会很有帮助，这样我们可以避免在这件事上与你们竞争。总体来说，每当数学家使用我们的模型取得进展时，我们都非常高兴。

另外，如果 OpenAI 这边能在算力方面提供任何帮助，我们也很乐意提供。”

我提出下周再谈。

9 月 4 日星期五，有人问我能否当天见面；我再次说，下周再谈。

9 月 6 日星期日 12:45，我又收到询问，问我是否能在“今天任何时候”见面。

Sebastien Bubeck 加入了谈话。那天下午，我们三个人谈了两次。Levent 没有参加这些通话。

我被告知，OpenAI 的一个内部模型已经生成了一份证明，证明带外力 Navier–Stokes 方程存在有限时间爆破。

Levent 通过短信询问具体的命题是什么，得到的回答是：

“在 \(\mathbb{R}^3\) 和 \(\mathbb{T}^3\) 中存在带外力的爆破”，并且“外力函数是光滑的，对应 Fefferman 中的选项 c 和 d。”

我被告知，这份证明大约有 100 页。

我没有看过它。

这里我需要说明，为什么我会以接下来所说的方式理解他们的这番陈述。

通过光滑外力、也就是 Fefferman 对该问题表述中的选项 c 和 d，去接近 Clay 问题，这条路线正是 Luis 和 Diego 开辟的路线，也是 Levent 和我一直悄悄选择攻克的路线。

据我所知，几乎没有其他人在做这个方向。

这不是那种你把问题陈述交给一个模型，几天以后自然而然就会想到的方向。

所以，当我听到“带外力”这几个字时，我立刻感到这是一个极其强烈的警报信号。

有人给我看了一个 prompt，并告诉我，那个内部研究模型只是单纯地被给出了问题陈述。

Sebastien 此前告诉 Levent，这里面只有“极少的人类输入”。

后来证明这并不是真的。

在通话过程中，随着他们团队的成员通过内部聊天不断给 Sebastien 发来更正和补充信息，实际情况逐渐浮现出来：

有一整个团队一直在研究这个问题；

这只是他们尝试过的许多方向之一；

他们一开始研究的是无外力问题；

团队首先让模型去做一些更简单的问题，其中包括 Euler 方程；

甚至连刚才给我展示的那个 prompt，本身都是通过让 Codex 生成出来的；

而且他们使用了数量惊人的算力。

我问，他们第一次向模型发送 prompt 是什么时候。

OpenAI 很长时间都没有直接回答这个问题。

最终，双方确认，第一次 prompt 是在过去几天里发送的，也就是有关我们研究工作的信息已经传到 OpenAI 之后。

我问，他们的模型是否曾经用我们在 Codex 中的会话进行训练，或者是否能够访问这些会话。在整个项目期间，我们一直把所有草稿都放在这些 Codex 会话里。

我被告知，模型不会查询用户数据。

我再次追问训练的问题。

我没有得到回答。

他们向我提出了两个方案。

第一个方案是：我们先发布 Euler 的结果，然后 OpenAI 第二天发布他们的 Navier–Stokes 结果。

第二个方案是：在 Euler 结果发布以后，由我一个人写一篇论文介绍 Navier–Stokes 的结果，并在论文中注明，是 OpenAI 的一个内部模型解决了它。

Sebastien 两次明确表示，他希望把 Levent 从作者名单里去掉。

他说，如果不是因为 Levent 在 Anthropic 工作，这件事本来会简单得多；而 Levent 偏偏在 Anthropic 工作，这实在让人恼火。

他们还说，如果 OpenAI 在我们之后发布结果，他们会表示我们理应获得 Clay 奖，并称我们是“距离这个问题最近的人类”。

这两个方案我都拒绝了。

我说，如果 OpenAI 按照他们提出的方式发布结果，我会把发生的一切公之于众。

对方回答：

“你为什么要毁掉自己的职业生涯？”

我回答说，我是一名学者，并问他为什么认为把事情公开会毁掉我的职业生涯。

对方回答：

“如果你不希望我对你好，那我也没有必要对你好。”

过了一段时间，Levent 收到了一条短信，提议他和 Sebastien 单独一对一谈话，短信里写道：

“我不知道 Tristan 现在是不是完全理性的。”

Levent 拒绝了，并表示有关这件事的谈话应该与我进行。

当天晚上，Sebastien 又发了一封后续邮件，请求在 9 月 7 日星期一与我交谈。

我没有回复。

我想明确说明，我没有在声称什么。

我没有看过 OpenAI 的证明。

我不知道他们的模型做了什么，也不知道它是如何做到的。

我不知道我们的数据是否被使用过。

我没有指控任何人做了任何事情。

我只是在陈述：别人告诉了我什么，是在什么时候告诉我的，以及他们向我提出了什么方案。

我之所以要把这些事情说出来，是因为另一种选择，就是任由接下来的一连串公告制造出一种我明知并不符合事实的叙事。

如果 OpenAI 的一个模型确实弥合了通往 Navier–Stokes 的最后差距，那是一件非同寻常的事情。

这件事应该由他们自己大声地说出来，而且应该完整保留事情的历史经过。

相比于这些，我更愿意谈数学本身，谈 Luis 和 Diego 的思想，以及这一切对于我们其他人究竟意味着什么。

最后，我想感谢整个数学共同体。在过去 24 小时里，大家给予了我如此多的支持。