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我以前在某个帖子的后半部分介绍过霍普夫纤维化（Hopf Hopf fibration），主要是当时有一个非常直观的视频。但现在无论如何都搜不到。我就为了提防这种情况，关键字都是不嫌麻烦地附上中英文两种，结果还是搜不到。

霍普夫纤维化纤维化（Hopf fibration）是拓扑学中最著名、最具几何美感的结构之一。它展示了一个令人惊讶的事实：

三维球面S^3 可以被分解成许多互不相交、两两互相链在一起的圆圈 S1，而这些圆圈又以一种连续的方式映射到普通球面 S^2。

h:S^3 - S^2

每个点 p in S^2 的原像 h^{-1}(p) 是一条圆S^1。

这就是所谓的“纤维化”：S^3 被看成由许多 S^1组成，每条 S^1 对应 S^2上的一个点。

因此 S^3 的结构可以写成：

S^1 - S^3 - S^2

这是一个非平凡的主 S^1-丛（principal S1-bundle）。

三维球面 S^3 定义为：

S^3 = { (x1, x2, x3, x4) in R4 x1^2 + x2^2 + x3^2 + x4^2 = 1 }

它是一个三维流形，但嵌在四维空间 R4 中，因此我们无法直接在三维世界中看到它的真实形状。

S^2 是普通球面。Hopf 纤维化告诉我们S^2 上的每一个点，都对应 S^3 中的一整条圆 S^1。

这条圆叫做这个点的 fiber（纤维）。

直观理解S^2 是“基底空间”（base space），S^1 是“纤维”（fiber），S^3 是“总空间”（total space）

因为 S^3 在 4 维，我们看不见，所以做一个投影到 R^3 的可视化。

投影后会看到：

许多圆圈（每条来自 S^3 中的一个 fiber）

这些圆圈排列在一系列嵌套的环面（tori）上

任意两条圆圈互相链在一起（Hopf link）

圆圈之间从不相交

这是 Hopf 纤维化最著名的几何特征：

在 S^3 中，任意两条不同的纤维圆圈都是链在一起的。