思路平坦、路径惊险的正方形题的多解(2)
大罕

【题目】如图1，在正方形ABCD中，P为线段BC上的一个动点，线段MN⊥AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，
⑴略；
⑵如图2，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AP、BD于点E、F，求证：EF=ME+FN.

前文对第(2)小题给出了一种方法（分进合击法）http://t.cn/AXxGMiZS，本文介绍截长、补短两种方法．
【证法二】基本思路是把EF分成两段，即EF=EG+GF，使得分得的两段分别等于结论中的两段，即EG=ME，GF=FN.这叫“截长法”．
作PQ∥BA，连接AG，延长MH交CD于T，如图3，
易知△AME≌△PGE，故ME=GE. 以下证明GF=FN即可.
由GP=GA=AM=DT，⇒GP=DT，
再由△ABP≌△MTN，⇒BP=PH=TN，
∴HG=GP-PH=DT-TN=DN，
∴△HGF≌△DNF，⇒GF=FN，
∴EF=EG+GF=ME+FN.

【证法三】基本思路是“补短法”，将较短的一段补长，构造出与 FN 相等的线段，再证明拼接后的线段 GE 与 EF 相等，即证 GE=EF．
具体作法并非直接在 EM 延长线上截取点 G 使 MG=FN，而是作平行线，间接地构造点 G：作 AG∥PF，延长 EM 交 AG 于点 G，
∵AG∥PF，∴∠GAP=∠APF，
∵FA=FP，∴∠APF=∠PAF，∴∠GAE=∠EAF，
又∵GF⊥AE，∴GE=EF，
∵四边形AGBF是正方形，∴AP=GF，而AP=MN，
∴GF=MN，∴GM=FN，故得证.

【简评】综上，截长法与补短法作为线段和与差的问题的两大基本解法。思路虽平坦，但路径有时“惊险”．截长和补短，均因题而异，既有基本套路，又有综合考察，二者互为补充．
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