2026年中考绍兴一模T16欣赏
大罕

2026年绍兴中考一模第16题，以正方形ABCD为载体，考察轴对称变换下的点到直线距离的最大值，构思精巧、解法灵动．

【题目】如图1，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段A'B'与线段AB关于直线l对称，则B到直线A'B'的距离最大值为______.

【解1】B到直线A'B'的距离等于B'到直线AB的距离d，因为OB'=OB=√2，所以B'在以O为圆心，半径为√2的圆上，它到AB距离的最大值为1+(√2).
如图2，线段B'E为所求.

【解2】O到AB、A'B'距离相等，所以AB、A'B'是正方形内切圆的切线．如图3. 再作BF丄A'B'于F，当B、O、F三点共线时，BF最大，此时，BF=BO+OF=1+(√2). 如图4，线段BG为所求.

【解3】建立直角坐标系，使点O点为原点，A(1,1)、B(1,-1)，则直线AB：x=1，如图5. 由轴对称性质可知，两对称直线与对称轴这三线相交于一点T，且∠BTB'=2θ，
原题等价于将直线AB 绕原点旋转 2θ得到直线 A'B' ，由坐标旋转公式，可得A'B'：xcos2θ+ ysin2θ-1=0，
∴B(1,-1) 到直线A'B'的距离为d=|cos2θ-ysin2θ-1|=|√2cos(2θ+π/4)-1|，
∴d的最大值为|-√2-1|=√2+1.

【小结】本题的解法一和解法二，充分利用轴对称的等距性质，把定点到动直线的距离最值，转化为动点到定直线的距离最值，再借助正方形中心对称与圆的轨迹特征，一步锁定最值临界位置．这样的解法，依托几何直观与变换思想，巧妙地避开了繁琐运算，简洁精妙、思路通透．
而解法三的解析法则需要坐标旋转公式，这一内容已不在教材范围内．此法精髓在于通盘托出了此题的实质，不过是点到直线的距离公式而已．
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